Evidencia de que tomamos las medidas de la cancha

El origen del teorema de Pitagoras

Ahora vayamos por el teorema que lleva su nombre: 

El Teorema de Pitágoras lleva este nombre pero no existe ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5. 

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes (Triángulo sagrado egipcio). El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º. 

¿Que increible no? 

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triágulo rectangulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20).. 

Hay cierta controversia acerca de si Pitágoras fué el primero en demostrar el teorema, pues se sabe de la existencia una demostración publicada en la obra matemática Chou Pei, de origen Chino, pudiendo ser ésta anterior a Pitágoras, aunque se cree que no llegó a conocer esta obra. 
Demostración China: 

Demostraciones (no la vamos a hacer por cuestiones obvias de aburrimiento pero les dejo un videito que es bastante didactico que presenta la propiedad) 


link: http://www.youtube.com/watch?v=XN7F8MH7A6I 


Euclides (300 a.C. aprox) fue el primero en demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras, usando un diagrama que algunos llaman el "molino de viento". El primer libro de Los Elementos, de Euclides, comienza con la definición de "punto" y termina con el teorema de Pitágoras enunciado a la inversa: si la suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado del tercer lado, se trata de un triángulo recto. Este itinerario que va desde algunas afirmaciones básicas ("axiomas" y hasta sus consecuencias lógicas más complicadas ("teoremas" ha sido desde entonces un modelo para los matemáticos. 

La Enciclopedia Británica cuenta que en 1821 un científico alemán propuso iniciar una conversación con los eventuales habitantes de Marte mostrándoles la madurez de nuestro desarrollo intelectual. A su juicio, para atraer el interés y aprobación de los marcianos bastaba con reproducir a gran escala el "diagrama de los molinos" (la demostración euclidiana del Teorema de Pitágoras) o en su defecto, dibujos que sugirieran el teorema de Pitágoras, de modo que pudieran ser vistos desde fuera de la Tierra. Esto sería posible cavando canales en Siberia o el Sahara, para luego llenarlos de aceite, prenderles fuego y esperar respuesta. El experimento en todo caso no se llevó a cabo. Pero si hubieran querido hacerlo, podrían haberse auxiliado del mismo sistema de cuerdas que usaron egipcios, babilonios (y probablemente los pueblos de Nazca) hace mucho, mucho tiempo. 

El Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos. 

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pitagoream Proposition. 

ejercicios sobre volúmenes

Geometría y Trigonométrica

                                                                Problemas de Razonamiento.

El área a determinar es una figura uniforme el cual está constituida por medio de figuras geométricas planas, como las siguientes:

1.- Triángulo.

2.- Cuadrado.

3.- Semicírculos.

Primer paso:

Al área total del cuadrado 7225 cm2, le reste una cuarta parte de un círculo que determine que la cuarta parte es de 5674.501 cm2   

Segundo paso:

La área restante la dividí entre dos porque así está marcado en la figura y determine su área que el resultado es de 775.24 cm2

Tercer paso:

El cuadrado fue dividido en cuatro partes después de hacer esto se descubrió que para determinar una pequeña área, en el área de una cuarta parte de un circulo, en el cual dentro de esta cuarta parte se encontraba un triángulo rectángulo adentro, se determinaba el área del triángulo el cual es de 903.125 cm2 el cual se restó del área de la cuarta parte del círculo se obtuvo una pequeña área = 515.495 el cual se va a restar más adelante.

Cuarto paso:

El área total del cuadrado = 7225 cm2 fue dividida entre dos porque el cuadrado estaba dividido por dos triángulos iguales, después dio ser un resultado de 3612.5 cm2  a esta área se le restaron las pequeñas sobras de las figuras que fueron las siguientes:

         Operación: 3612.5cm2 - 775.24cm2 – 515.495cm2 = 2321.765 cm2

 Y así concluimos el área que se deseaba saber para pedir los rollos de pasto ya en cm2. 

 Los problemas planteados en las figuras 1,2 y 3 fueron
resuelto con formulas de figuras geométricas planas.
en las imágenes de un costado derecho se muestran las formulasy las operaciones realizadas para obtener los resultados.

                           Propiedades de las figuras geométricas planas.

Cuadrado.-

1.-Todos los lados son congruentes.

2.-Todos los ángulos son rectos.

3.-Las diagonales se bisecan, son perpendiculares entre si y es bisectriz de los ángulos cuyos vértices se unen.

Rectángulo.-

1.-Cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.

2.-Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.

3.-Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces sus diagonales son congruentes.

Triangulo equilátero.-

1.-Tres lados iguales

2.-Tres ángulos iguales, todos 60°.

Triangulo isósceles.-

1.-Dos lados iguales.

2.-Dos ángulos iguales.

Triangulo escaleno.-

1.-No hay lados iguales.

2.-No hay ángulos iguales.

Circulo.-

1.-No tiene ángulos.

2.-No tiene lados.  

3.-Su forma es redonda.

Rombo.-

1.-el rombo es un paralelogramo equilátero

2.- las diagonales en un rombo se dimidian perpendicularmente.

3.- las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes.

4.- las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos interiores.

  Pentágono.-

1.- los lados son iguales.

2.- los ángulos interiores son congruentes.

3.- cada ángulo interior mide 108 grados.

4.- la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es de 540°.

5.- la apotema.

Hexágono.-

1.- el hexágono tiene  seis lados iguales

2.- seis lados iguales

3.- los triángulos formados , al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros

4.- el área de esta figura se calcula mediante la formula

Área del hexágono = perímetro por apotema /2.

                                                   INVESTIGACIÓN


El incentro se expresa con la letra I. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

El circucentro se expresa con la letra O.El circucentro es el centro de una circunferencia.

El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.Las medianas de un triángulo son las rectas que unen elpunto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.El baricentro se expresa con la letra G.

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vérticeal lado opuesto (o su prolongación).El ortocentro se expresa con la letra H.

Tipos de Ángulos.

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

Teorema de Pirágoras

Teorema de Pitágoras. Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbase como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

Ubicación de la Reguion Áurea aplicada en el Arte y la Arquitectura.