Ojivas.-

Ojivas.-

Una distribución de frecuencia acumulativa nos permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o por debajo de ciertos valores, en lugar de limitarnos a anotar los números de elementos dentro de los intervalos. Por ejemplo, si queremos saber cuantos galones contienen menos de 17.0 ppm, podemos servirnos de una tabla que incluya frecuencias acumulativas “menores que” en nuestra muestra como se observa en la tabla 8.

TABLA 8: Distribución de frecuencia acumulativa “menor que” de las concentraciones de cloro en ppm

Se llama ojiva a la gráfica de una distribución de frecuencia acumulativa. La ojiva de una distribución de este tipo se muestra en la figura 4. Los puntos graficados representan la cantidad de galones que tienen menos cloro que las partes por millón indicadas sobre el eje horizontal.

FIG. 4 Ojiva “menor que” de la distribución de las concentraciones de cloro en ppm para 30 galones de agua tratada.

Histograma.-

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Barra Horizontal.-

La barra de desplazamiento horizontal es una barra horizontal con dos extremos con flechas que apuntan en sentidos contrarios (derecha e izquierda) y que suelen ubicarse en los extremos de una ventana, recuadro o cuadro de texto.

Gráficos 2D.-

• Tipos de gráficos: este cuadro de lista que aparece a la izquierda nos ofrece una realición con los diferentes tipos de gráficos que podemos utilizar. Al seleccionar cualquiea de ellos pueden cambiar las opciones que se ofrecen a la derecha.

• Variantes: en este recuadro, cuando seleccionamos un tipo de gráfico, nos ofrece las distintas variantes del gráfico seleccionado.

• Vista 3D: al activar esta casilla en el recuadro Variantes vemos los diferentes variantes del tipo de gráfico seleccionado pero en formato tridimensional.
  • Visualización: este cuadro de lista se activa cuando la casilla Vista 3D está seleccionada. En el nos ofrece dos simulaciones de la apariencia 3D de los gráficos:
    • Sencilla: resalta las aristas para que se vean claramente.
    • Realista: difumina las líneas de las aristas.
• Forma: Este cuadro de lista también se activa al marcar la casilla Vista 3D y en él aparecen las cuatro formas en la que pueden mostrarse los datos: Caja, Cilindro, Cono y Pirámide.

Gráficos 3D.-

En física, geometría y análisis matemático, un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.

Gráficas Circulares.

Un gráfico circular o gráfica circular, también llamado "gráfico de pastel", "gráfico de tarta", "gráfico de torta" o "gráfica de 360 grados", es un recurso estadístico que se utiliza para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de una gráfica circular suele ser de más de cuatro.

Gráficas de Despersion. 

Un diagrama de dispersión o gráfica de dispersión o gráfico de dispersión es un tipo de diagrama matemático que utiliza las coordenadas cartesianas para mostrar los valores de dos variables para un conjunto de datos.

Gráficas de Burbujas.-

Los gráficos de burbuja nos permiten mostrar tres dimensiones de datos en un gráfico de dos dimensiones. El gráfico de burbuja es una variación del gráfico de dispersión en donde los puntos son reemplazados por burbujas.

El tamaño de las burbujas es lo que representa la tercera dimensión de datos en el gráfico. Las burbujas se grafican de acuerdo a los valores de X y de Y mientras que su tamaño será proporcional al tercer valor. Losgráficos de burbuja son frecuentemente utilizados para presentar información financiera ya que los diferentes tamaños de las burbujas enfatizan adecuadamente los diferentes valores financieros.

Pictogramas.-

Un pictograma es un tipo de gráfico que representa mediante dibujos la característica estudiada. Éstos representan las frecuencias relativas o absolutas de una variable cualitativa o discreta.

Desviación estándar 

La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación estándar se representa por σ.

Desviación estándar para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Desviación estándar para datos agrupados

Ejercicios

Calcular la desviación estándar de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Varianza 

Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media ). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan. Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:

Ecuación 5-6

Donde () representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, () representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño de la población. En el caso que estemos trabajando con una muestra la ecuación que se debe emplear es:

Moda.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por M_o.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M_o= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9M_o= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Media.

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por M_e.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dospuntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre .

Diagrama  de Venn.
Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Probabilidad y Estadísticas.

Tareas de Probabilidad Y Estadísticas. 

Operaciones con conjuntos.

Operaciones con tres conjuntos

En un diagrama de Venn, las posiciones relativas de tres conjuntos pueden ser muy variadas.
% elementos que no pertenecen a ningún conjunto, excepto al universal (región gris);
% elementos que pertenecen a un solo conjunto (regiones roja, amarilla y azul);
% elementos que pertenecen a dos conjuntos (regiones anaranjada, verde y violeta); y
% elementos que pertenecen a los tres conjuntos (región marrón).

Es decir, la disposición más general es la que define ocho regiones. En ninguna otra se llega a esta cantidad. [La disposición 5, por ejemplo, tiene siete. Si los elementos de tres conjuntos pueden ser ubicados en el diagrama 5, también podrán ser ubicados en el diagrama 12: una región

Obsérvese que la cantidad de regiones de cada clase se puede calcular aplicando la fórmula siguiente:

Donde ntc es el número total de conjuntos y ncs es el número de conjuntos que se solapan (superponen) en las regiones en cuestión. Por ejemplo, en un diagrama de tres conjuntos ntc = 3, la cantidad de regiones donde no hay conjuntos (ncs = 0) es 3!/[0! (3-0)!] = 1 (gris); la cantidad de regiones donde hay un solo conjunto (ncs = 1) es 3!/[1! (3-1)!] = 3 (roja, amarilla y azul); la cantidad de regiones donde se solapan dos conjuntos (ncs = 2) es 3!/[2! (3-2)!] = 3 (anaranjada, verde y violeta); y la cantidad de regiones donde se solapan los tres conjuntos (ncs = 2) es 3!/(3-3)! = 1 (marrón). El número total de regiones (colores) se puede obtener entonces aplicando la siguiente fórmula:

En otros términos, la cantidad de regiones surge de la construcción conocida como "Triángulo de Tartaglia". Los números de cada fila se obtienen sumando los dos adyacentes de la columna anterior

cantidad de conjuntos								cantidad de regiones Triángulo de Tartaglia			total de regiones
0 1 2 3								1 1 1 1 2 1 1 3 3 1			1 2 4 8

Este procedimiento está justificado por el hecho de que las regiones están ordenadas en una estructura jerárquica del tipo "árbol": si en una región un conjunto se solapa con otros dos, se solapa también con cada uno de ellos, y ellos se solapan entre sí. La pregunta: « ¿Cuántas regiones hay donde se superponen ncs conjuntos?» es equivalente a la pregunta: « ¿Cuántos jefes tiene un empleado que se encuentra en el nivel ncs-ésimo de una escala jerárquica como la siguiente?»

Cada jefe vale por el número de superiores que tiene.

La tabla siguiente muestra distintas formas de identificar las regiones

La última columna contiene las ternas ordenadas correspondientes a cada una de las ocho regiones. Las tres componentes indican, respectivamente, si los elementos pertenecen (1) o no (0) a los conjuntos A, B y C.

El resultado de una operación con tres conjuntos es, gráficamente, una parte del diagrama que los representa (en el caso más general, el diagrama 12 de la primera tabla). Cualquier región compuesta se puede expresar en términos de las ocho regiones elementales de la tabla anterior. En el cuadro siguiente se muestran algunos ejemplos

Sin embargo, como se observa en la notación alternativa (última columna), muchas veces es posible escribir expresiones más compactas. (Éste no es el caso de la operación 3.)

Unión de Conjuntos.

La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se ha desarrollado desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otro. Su uso ha permitido indudablemente mejorar la precisión del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades, entre otras.

Interacción de Conjuntos.

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de números naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A B = { a, e}

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

Diferencia de Conjunto.

En teoría de conjuntos, la diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacío. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅.

Vector

                                                       

                                                             Tema Vector

Vector es un término que deriva de un vocablo latino y que significa “que conduce”. Un vector es un agente que transporte algo de un lugar a otro. Su significado, de todas formas, varía de acuerdo al contexto.

Un vector puede utilizarse para representar una magnitud física, quedando definido por un módulo y una dirección u orientación. Su expresión geométrica consiste en segmentos de recta dirigidos hacia un cierto lado, asemejándose a una flecha. La velocidad y la fuerza son dos ejemplos de magnitudes vectoriales.

 

VECTORES EN DOS DIMENSIONES. 

Vectores

Un vector fijo  es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Un vector fijo es nulo cuando el origen y su extremo coinciden.

Módulo del vector 

Es la longitud del segmento AB, se representa por .

Dirección del vector 

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido del vector 

El que va del origen A al extremo B.

VECTORES EN TRES DIMENCIONES

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y suextremo en el otro.

Módulo de un vector

Si las coordenadas de A y B son:

Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Si tenemos las componentes de un vector:

Ejemplo:

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores y , hallar los módulos de  y ·

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres  y  se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Ejemplo:

Dados = (2, 1, 3),  = (1, −1, 0),  = (1, 2, 3), hallar el vector  = 2u + 3v − w.

 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

Dados los vectores  y , hallar el módulo del vector .

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres  y  se suma  con el opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo: