ejercicios sobre volúmenes

Geometría y Trigonométrica

                                                                Problemas de Razonamiento.

El área a determinar es una figura uniforme el cual está constituida por medio de figuras geométricas planas, como las siguientes:

1.- Triángulo.

2.- Cuadrado.

3.- Semicírculos.

Primer paso:

Al área total del cuadrado 7225 cm2, le reste una cuarta parte de un círculo que determine que la cuarta parte es de 5674.501 cm2   

Segundo paso:

La área restante la dividí entre dos porque así está marcado en la figura y determine su área que el resultado es de 775.24 cm2

Tercer paso:

El cuadrado fue dividido en cuatro partes después de hacer esto se descubrió que para determinar una pequeña área, en el área de una cuarta parte de un circulo, en el cual dentro de esta cuarta parte se encontraba un triángulo rectángulo adentro, se determinaba el área del triángulo el cual es de 903.125 cm2 el cual se restó del área de la cuarta parte del círculo se obtuvo una pequeña área = 515.495 el cual se va a restar más adelante.

Cuarto paso:

El área total del cuadrado = 7225 cm2 fue dividida entre dos porque el cuadrado estaba dividido por dos triángulos iguales, después dio ser un resultado de 3612.5 cm2  a esta área se le restaron las pequeñas sobras de las figuras que fueron las siguientes:

         Operación: 3612.5cm2 - 775.24cm2 – 515.495cm2 = 2321.765 cm2

 Y así concluimos el área que se deseaba saber para pedir los rollos de pasto ya en cm2. 

 Los problemas planteados en las figuras 1,2 y 3 fueron
resuelto con formulas de figuras geométricas planas.
en las imágenes de un costado derecho se muestran las formulasy las operaciones realizadas para obtener los resultados.

                           Propiedades de las figuras geométricas planas.

Cuadrado.-

1.-Todos los lados son congruentes.

2.-Todos los ángulos son rectos.

3.-Las diagonales se bisecan, son perpendiculares entre si y es bisectriz de los ángulos cuyos vértices se unen.

Rectángulo.-

1.-Cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.

2.-Si un cuadrilátero es un rectángulo, entonces es un paralelogramo.

3.-Si un paralelogramo es un rectángulo, entonces sus diagonales son congruentes.

Triangulo equilátero.-

1.-Tres lados iguales

2.-Tres ángulos iguales, todos 60°.

Triangulo isósceles.-

1.-Dos lados iguales.

2.-Dos ángulos iguales.

Triangulo escaleno.-

1.-No hay lados iguales.

2.-No hay ángulos iguales.

Circulo.-

1.-No tiene ángulos.

2.-No tiene lados.  

3.-Su forma es redonda.

Rombo.-

1.-el rombo es un paralelogramo equilátero

2.- las diagonales en un rombo se dimidian perpendicularmente.

3.- las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes.

4.- las diagonales de un rombo son bisectrices de los ángulos interiores.

  Pentágono.-

1.- los lados son iguales.

2.- los ángulos interiores son congruentes.

3.- cada ángulo interior mide 108 grados.

4.- la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular es de 540°.

5.- la apotema.

Hexágono.-

1.- el hexágono tiene  seis lados iguales

2.- seis lados iguales

3.- los triángulos formados , al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros

4.- el área de esta figura se calcula mediante la formula

Área del hexágono = perímetro por apotema /2.

                                                   INVESTIGACIÓN


El incentro se expresa con la letra I. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

El circucentro se expresa con la letra O.El circucentro es el centro de una circunferencia.

El baricentro es el punto de corte de las tres medianas.Las medianas de un triángulo son las rectas que unen elpunto medio de un lado del triángulo con el vértice opuesto.El baricentro se expresa con la letra G.

El ortocentro es el punto de corte de las tres alturas.Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde un vérticeal lado opuesto (o su prolongación).El ortocentro se expresa con la letra H.

Tipos de Ángulos.

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

Teorema de Pirágoras

Teorema de Pitágoras. Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... ... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos!

El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es:

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto)

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2

¿Seguro... ?

Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar.

Veamos si las áreas son la misma: 32 + 42 = 52 Calculando obtenemos: 9 + 16 = 25 ¡sí, funciona!

¿Por qué es útil esto?

Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. (¡Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

¿Cómo lo uso?

Escríbase como una ecuación:

a2 + b2 = c2

Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

a2 + b2 = c2 52 + 122 = c2 25 + 144 = 169 c2 = 169 c = √169 c = 13

a2 + b2 = c2 92 + b2 = 152 81 + b2 = 225 Resta 81 a ambos lados b2 = 144 b = √144 b = 12

Ubicación de la Reguion Áurea aplicada en el Arte y la Arquitectura.

La Ubicación de la Reguion Áurea en el Arte Y la Arquitectura.

 La Proporción Áurea en el Arte.

La utilización consciente de esta proporción en el Arte antiguo no deja de ser una conjetura, por cuanto no hay testimonios que lo acrediten, mientras que sí los hay del uso de razones simples o musicales, como un quebrado entre números enteros. El carácter racionalista del pensamiento griego, su tendencia a la aritmetización de toda ciencia y el conocimiento cierto que tenían del trazado y propiedades geométricas de esta proporción hace muy posible su uso, aunque fuese como experimentación formal. En fachadas de templos y otras construcciones se pueden detectar rectángulos áureos y R5. En la representación de la figura humana es menos probable, ya que el realismo predomina sobre la simbología, pero yo no lo descartaría, habida cuenta del interés que se mostró por buscar las proporciones más bellas y armoniosas posibles.

Un caso digno de mención es el Hombre vitrubiano de Leonardo da Vinci. Vitrubio, arquitecto romano, en su tratado De Arquitectura da unas referencias sobre la figura humana basadas en divisiones simples, y además dice que la altura es igual a la envergadura y que un hombre echado, al extender brazos y piernas describe un círculo (no alude a la proporción áurea, sinó a las formas perfectas). Muchos artistas intentaron ilustrar en un mismo dibujo las tres formas: humana, cuadrada y circular, con resultados pintorescos pero poco afortunados.

 Leonardo dió una solución original y mucho más elegante descentrando cuadrado y circunferencia. El pubis es el centro del cuadrado, y el ombligo el de la circunferencia. Es fácil comprobar que su radio es sección áurea de la altura del cuadrado.

da Vinci conocía la proporción y la exactitud del esquema no deja muchas dudas de su uso, aunque una vez resuelto el "armazón" aplica, como Vitrubio, divisiones modulares en el cuerpo. En las obras de muchos otros artistas del Renacimiento se han buscado relaciones áureas, sin conclusiones sobre su uso consciente. Sir Theodore Cook (s XIX) describió una escala simple de divisiones áureas aplicable a la figura,

Que encaja sorprendentemente bien en las obras de algunos pintores, como Botticelli.

Hacer esta escala sobre un segmento es muy simple. Primero hacemos el cálculo de la sección áurea desde un extremo y desde el otro,

y luego, simplemente duplicando las medidas menores para restarlas en las mayores, se van situando otras más pequeñas:

Otro caso notable es el Modulor, de Le Corbusier, una escala áurea doble a partir de la altura de un hombre de 1,83 cm. convertida en sistema de medidas estándar para la construcción.

Además de la aplicación antropométrica, también podemos comentar el uso de la proporción como medio de distribución espacial (composición) en obras pictóricas. Aunque tampoco está muy documentada, hay casos en que parece muy claro: en el Martirio de S Bartolomé, de Ribera, la división del espacio y anclajes de puntos de tensión en las divisiones áureas verticales:

En la Carta, de Vermeer, situación del elemento principal en el cruce de las divisiones áureas:

Con pocas dudas, en autores del s XX. Dalí: el rectángulo áureo como formato del lienzo...

y además jugando claramente con el esquema de la espiral:

En Ad Parnassum, de Paul Klee, varios aspectos: El lienzo es un rectángulo doble áureo, la puerta define un rectángulo áureo adosado a la división áurea del lienzo, y varias razones áureas fáciles de encontrar entre las longitudes de los pocos elementos lineales presentes.

Muchos casos parecen evidentes por su exactitud y por el conocimiento geométrico de sus autores. Es común a la mayoría de los artistas experimentar con recursos compositivos pero no hacer norma de ellos. Es probable que en muchos casos las estructuras geométricamente significativas aparezcan espontáneamente en aquellas personas adiestradas en observar y manejar elementos formales.

La Proposición Aurea en la Arquitectura.

La proporción áurea o sección áurea es asociada con bastante frecuencia con la armonía estética en la arquitectura y el arte en general, el concepto data de mucho tiempo atrás, los griegos ya la conocían y utilizaban, matemáticamente se define como la proporción de a dividida por b donde ( a+b ) es para a lo que a es para b, haciendo los cálculos obtenemos que la proporción aurea es ( 1 + √ 5 ) / 2 o 1.618 aproximadamente, también se le conoce hoy en día como el número Phi. (Lun, 02 Sep 2013)

La arquitectura contemporánea sigue utilizando la proporción aurea en diferentes estructuras, el concepto de sección áurea fue reivindicado durante el periodo de la arquitectura moderna por Le Corbusier quien en los años 40s desarrolló un sistema de proporciones llamado Modulor en el que la proporción de alturas

estaba basada en la proporción aurea, pero no solo Le Corbusier utilizó ampliamente el concepto, de igual forma lo hizo Mies Van der Rohe, de esta forma la proporción aurea mantiene su vigencia hasta nuestros días.

En la arquitectura la sección aurea encuentra variadas e imaginativas aplicaciones, veamos el caso del círculo áureo, círculo dividido en dos secciones por dos radios, en el cual el cociente de la división del ángulo mayor entre el menor es igual al número de oro, Phi, la arquitectura aplica esto en la pendiente de lozas a dos aguas, en la angulación de muros y en juntas de elementos estructurales y también decorativos.

La proporción aurea en la actualidad es utilizada en las fachadas para la asignación de tamaños proporcionales – sección del rectángulo áureo y gradación - en ventanas, puertas, columnas, lozas, arcos, trabes, elementos decorativos, de tal forma que se logre un conjunto visualmente atractivo y se mantenga la proporcionalidad con respecto a la fachada total.

La sección áurea también es aplicada en la arquitectura contemporánea para el diseño de plantas, de tal forma que se logren ambientes armónicos y proporcionales al tamaño total de la planta, de esta forma se aplican separaciones y tamaños proporcionales para estancias, jardines, escaleras, mediante las secciones y gradación de un rectángulo áureo.
Un ejemplo del uso de la sección áurea en la arquitectura contemporánea es La Casa G (G House) en Ramat Hasharon, Israel, del grupo Paz Gersh Architects, un proyecto del año 2011 en el que el diseño de las fachadas se ha planteado a través del análisis preciso de proporciones utilizando la proporción áurea, el concepto se puede apreciar a lo largo de toda la casa. La Casa G / Paz Gersh Architects 

Absalon es un proyecto desarrollado el año 2006 en Trier, Rheinland-Pfalz, Alemania, por Denzer & Poensgen, el proyecto se ha inspirado en las grandes artes o “ars magna”, las habitaciones al igual que las fachadas e interiores han sido diseñadas siguiendo la proporción áurea, resultando una obra con una belleza y equilibrio espectaculares. Absalon / Denzer & Poensgen
Otro ejemplo del uso de la proporción áurea contemporánea es La Casa de la Moneda China localizada en Santa Cruz de la Sierra, Bolivia, cuyo autor es Juan Carlos Menacho Durán, tanto los radios de las circunferencias como las medidas de los rectángulos, en las tres dimensiones – alto, largo y profundidad – reflejan la proporción áurea. 

Juan Carlos Menacho Durán / Casa de la Moneda China 

Al Dar Headquarters es una edificación sorprendente, de forma semi-esférica, localizada en Al Raha Beach, Abu Dhabi, Emiratos Arabes Unidos, lograda por MZ Architects en el año 2010, la estructura consta de dos fachadas circulares convexas unidas por una banda angosta de vidrio indentado. Para lograr estabilidad visual, dinamismo y armonía se ha utilizado la proporción áurea, para aplicarla a la fachada circular, está se ha dividido en un pentagrama en el cual el cuerpo humano está yuxtapuesto con la cabeza y las cuatro extremidades sobre los cinco puntos del pentagrama, gracias a esto, los arquitectos han logrado también encontrar los dos puntos de estabilidad de la fachada circular, puntos sobre los que el edificio se apoya sobre el terreno, logrando el balance perfecto. 

Al Raha Beach, Abu Dhabi, Emiratos Arabes Unidos, MZ Architects 

Finalmente no podemos dejar de mencionar otro extraordinario ejemplo del uso de la proporción áurea en la arquitectura contemporánea; la Casa del Soplo localizada en Camino Punta de Águilas interior, Santiago, Chile y edificada en el año 2011 por Cazú Zegers G. Esta vivienda familiar tiene áreas curvas diseñadas basándose en un sistema doble de proporción áurea, logrando un resultado extremadamente armonioso. 

Casa Soplo / Cazú Zegers G. 

Bienvenidos a mi nuevo blog

Gracias por entrar a mi nuevo blog. Aquí pondré y subiere taras asignadas por la materia de funciones matemáticas de segundo cuatrimestre de la utt.